Применительно к гироскопам (см. «Вынужденная прецессия гироскопа» ) свободную прецессию называют нутацией.

Кинематика вращения вокруг неподвижной точки характеризуется вектором мгновенной угловой скорости. В каждый момент времени скорость любой точки твердого тела будет такой, как если бы тело только вращалось вокруг оси, направленной вдоль вектора угловой скорости. Но в общем случае свободного вращения тела вектор угловой скорости и, следовательно, мгновенная ось вращения, непрерывно меняют свое направление. Даже при отсутствии моментов внешних сил, т.е. при вращении по инерции, поведение мгновенной оси вращения оказывается весьма сложным. Еще более сложными представляются при этом траектории отдельных точек тела.

При вращении твердого тела вектор момента импульса L (иначе его называют вектором углового момента) пропорционален мгновенной угловой скорости ω, но, вообще говоря, не совпадает с ней по направлению. Совпадение направлений момента импульса и угловой скорости будет только тогда, когда угловая скорость направлена вдоль одной из трех взаимно перпендикулярных осей, называемых главными осями инерции тела. Для симметричных тел из однородного материала главные оси инерции совпадают с осями симметрии тела. Например, в случае прямоугольного параллелепипеда главные оси инерции проходят через геометрический центр параллельно ребрам. Моменты инерции тела относительно проходящих через центр масс главных осей называются главными центральными моментами инерции.

Свободное вращение твердого тела вокруг главных осей инерции, когда векторы L и ω совпадают по направлению, происходит очень просто. В самом деле, в отсутствие моментов внешних сил сохраняется вектор момента импульса L. Отсюда сразу следует, что сохраняется как направление вектора ω в пространстве, так и величина угловой скорости. Поэтому главные оси инерции называют еще осями свободного вращения тела. Если твердое тело раскручено вокруг одной из этих осей, оно и дальше просто равномерно вращается вокруг оси, направление которой в пространстве не изменяется. Траектория любой точки тела – это окружность с центром на оси вращения.

Когда направление начальной угловой скорости отклонено от главной оси инерции тела, свободное вращение происходит сравнительно просто для так называемого симметричного волчка. Симметричный волчок – это тело, у которого два из трех главных центральных моментов инерции имеют равные значения. Примеры таких тел – однородный брусок с квадратным основанием и вообще любая призма или пирамида с основанием в виде правильного многоугольника (в том числе и треугольника), изготовленная из материала постоянной плотности, круговые диск, цилиндр или конус, эллипсоид вращения (вытянутый или сжатый сфероид), и т.п. При вращении таких тел вокруг оси симметрии момент импульса также направлен вдоль этой оси. Если же вектор угловой скорости отклонен от оси симметрии тела на некоторый угол, то вектор момента импульса L не совпадает с ω по направлению, но обязательно лежит в одной плоскости с ω и осью симметрии тела. (Моделирование свободного вращения симметричного волчка в виде однородного кругового цилиндра приведено на странице «Свободное вращение кругового цилиндра».)

Принимая во внимание взаимное расположение момента импульса, угловой скорости и оси тела, легко показать, что в отсутствие моментов внешних сил ось фигуры и вектор мгновенной угловой скорости совершают прецессию вокруг неизменного направления вектора момента импульса L, т.е. описывают в пространстве круговые конусы с общей вершиной в центре масс. Углы раствора этих конусов остаются неизменными при вращении тела. Чтобы наблюдать такое движение (в левой части экрана), нажмите здесь.

Приостанавливать и возобновлять моделирование, а также изменять параметры можно с помощью панели управления, расположенной слева от окна с изображением тела. Изображение в окне можно поворачивать вокруг вертикальной и горизонтальной осей: для выбора наиболее удобной точки зрения просто поместите указатель мыши в окно и перемещайте его («перетаскивайте») при нажатой левой кнопке.

В каждый момент времени вектор угловой скорости (желтая стрелка на черном фоне) показывает направление оси вращения тела в пространстве. Поэтому множество мгновенных осей вращения в разные моменты времени образует в пространстве круговой конус с вершиной в центре масс тела и осью, направленной вдоль L (вертикально на экране). Такой конус называют неподвижным аксоидом (см. правую часть окна апплета).

Представим себе еще один круговой конус, на этот раз жестко связанный с телом. Вершина этого конуса также находится в центре масс, а его ось направлена вдоль оси симметрии тела. Мгновенная ось вращения в любой момент времени совпадает с одной из образующих этого связанного с телом конуса, а вся его боковая поверхность показывает, как расположена мгновенная ось вращения в разные моменты времени в самом теле, т.е. дает положение всего множества мгновенных осей вращения относительно тела. По этой причине такой мысленно связанный с движущимся телом круговой конус называют подвижным аксоидом.

Подвижный и неподвижный конусы соприкасаются своими боковыми поверхностями вдоль мгновенной оси вращения. Скорости всех точек тела, лежащих в данный момент на мгновенной оси вращения, равны нулю. Это значит, что поведение мысленно связанного с телом подвижного аксоида представляет собой качение без проскальзывания по поверхности неподвижного аксоида. Такую наглядную геометрическую интерпретацию свободной прецессии дает правая часть окна апплета. (Нажмите здесь, чтобы было видно окно апплета.)

Наглядному геометрическому представлению кинематики свободного вращения симметричного волчка в виде качения без проскальзывания подвижного аксоида по поверхности неподвижного можно сопоставить разложение вектора мгновенной угловой скорости на сумму двух составляющих. Одна из них соответствует вращению тела вокруг собственной оси симметрии. Направление этого вектора неизменно в самом теле, а в пространстве он совершает прецессию, описывая вместе с осью тела круговой конус. Направление второго слагаемого неизменно в пространстве. Оно соответствует прецессии оси симметрии тела вокруг вектора момента импульса L, сохраняющего свое направление (вертикальное на экране).

Точки тела, лежащие на оси симметрии, описывают окружности, центры которых находятся на оси неподвижного аксоида. Движение точек тела, не лежащих на оси симметрии, можно представить как сложение двух движений, а именно, вращения тела вокруг собственной оси с одновременным движением этой оси по конусу прецессии. Чтобы представить себе, по каким траекториям движутся при этом отдельные точки тела, можно поставить «флажок» в боксе «Траектория точки» на панели управления и задать положение этой точки, указав угол, на который отклоняется от оси симметрии волчка вектор, направленный в эту точку из центра масс. Для наглядности программа строит траекторию точки, находящейся на конце воображаемой тонкой стрелки, выходящей из центра масс за пределы самого тела. Можно представлять себе эту стрелку как жестко связанную с телом («воткнутую» в него). Все точки этой стрелки описывают геометрически подобные траектории. Траектория конца стрелки крупнее всех остальных, что позволяет наблюдать характерные особенности таких траекторий в более крупном масштабе. Чтобы получить представление о траектории точки, которая находится на поверхности подвижного аксоида (в начальный момент лежит на мгновенной оси вращения), нажмите здесь. (Нажмите также здесь, чтобы было видно окно апплета.)

Рассмотренная выше геометрическая интерпретация свободного вращения симметричного волчка применима и к частному случаю равенства продольного и поперечного моментов инерции, т.е. к случаю шарового волчка – тела, у которого все три главных центральных момента инерции равны. Так как у шарового волчка вектор угловой скорости и направленная вдоль него мгновенная ось вращения сохраняют свое направление в пространстве (не прецессируют), то конус неподвижного аксоида вырождается в полупрямую, направленную вдоль вектора момента импульса L (вертикально на экране). Качение подвижного аксоида, жестко связанного с телом, по выродившемуся в прямую неподвижному аксоиду сводится к равномерному вращению подвижного конуса вокруг своей образующей. Эта образующая совпадает по направлению с вектором момента импульса L и неизменным вектором угловой скорости ω. Любая точка шарового волчка (например, конец стрелки, жестко связанной с телом) описывает окружность с центром на оси вращения. Для наблюдения свободного вращения шарового волчка нажмите здесь. (Нажмите также здесь, чтобы было видно окно апплета.)

В случае симметричного волчка сплющенной формы геометрическая интерпретация свободного вращения не столь очевидна. Связанный с телом подвижный аксоид соприкасается с неподвижным аксоидом своей внутренней поверхностью. Поэтому при прецессии оси тела против часовой стрелки, когда подвижный аксоид катится своей внутренней поверхностью по охватываемому им неподвижному аксоиду, собственное вращение тела происходит в противоположную сторону, т.е. по часовой стрелке. Такому поведению соответствует разложение вектора мгновенной угловой скорости (желтая стрелка на экране) на компоненты, соответствующие прецессии и вращению вокруг собственной оси (красные стрелки). Видно, что для сплющенного тела вектор угловой скорости собственного вращения направлен под тупым углом к вектору угловой скорости прецессии. Чтобы наблюдать иллюстрацию такого поведения в компьютерной программе, нажмите здесь. (Нажмите также здесь, чтобы было видно окно апплета.)

Управление программой.
Инертные свойства симметричного волчка при вращении определяются продольным и поперечным моментами инерции. Для моделирования существенны не сами по себе значения этих моментов, а только их отношение. В программе отношение момента инерции относительно поперечной оси к продольному задается параметром «Вытянутость». Программа допускает значения этого параметра в пределах от 0,5 до 5,0. Если этот параметр равен 1, поперечный и продольный моменты инерции равны, т.е. симметричный волчок превращается в шаровой. У вытянутого вдоль оси тела этот параметр больше единицы (поперечный момент инерции больше продольного), у сплющенного – меньше единицы.

Еще один параметр, который можно изменять в программе – это угол между направлением вектора угловой скорости и осью волчка. На панели управления он обозначен как «Наклон». Значение угла наклона нужно вводить в градусах. Допустимые значения лежат в интервале от 0 до 40 градусов. Величину угловой скорости можно изменять в пределах от 0,5 до 10 (в относительных единицах). Изменение этого параметра сказывается на быстроте вращения тела, но не изменяет качественно характера его движения. О том, как можно включить построение траектории какой-либо точки волчка, совершающего свободное вращение, и как выбрать положение этой точки относительно оси волчка, уже было сказано выше. Сняв «флажок» в самом нижнем боксе панели управления, можно сделать светлым фон окна, в котором программа отображает движение тела и его геометрическую интерпретацию в виде качения подвижного конуса по поверхности неподвижного.

Более подробное теоретическое описание свободной прецессии симметричного волчка можно найти в статье «Свободное вращение твердого тела».

Представление о рассмотренных здесь закономерностях свободного вращения симметричного волчка необходимо для понимания поведения гироскопа (см. «Вынужденная прецессия гироскопа»).

Последнее обновление – 20 июня 2012 г.

Author's home page