1. Круговое движение системы четырех тел одинаковой массы. Четыре тела равных масс, связанные гравитационным взаимодействием, могут синхронно двигаться по общей круговой траектории, находясь на одинаковых расстояниях друг от друга. Тела располагаются в вершинах квадрата, вписанного в эту круговую траекторию. Образованный телами квадрат равномерно вращается вокруг центра подобно твердому телу.

2. Неустойчивость кругового движения четырех тел. В данном примере начальная скорость одного из тел одинаковых масс немного отличается от значения, обеспечивающего круговое движение системы. Это крошечное нарушение симметрии начальных условий ведет к прогрессивно нарастающему искажению начальной равносторонней конфигурации. Движение остается обратимым до тех пор пока не происходит столкновений (пока действуют только силы тяготения). (Нажмите также здесь, чтобы наблюдать апплет.)

3. Эллиптические движения четырех тел одинаковых масс. Если начальные скорости тел, будучи равными по величине (и направленными перпендикулярно радиусам-векторам тел) отличаются от значения, обеспечивающего круговое движение системы, тела движутся синхронно по конгруентным эллиптическим орбитам. Большие оси соседних эллипсов образуют углы по 90 градусов одна с другой. В данном случае квадрат, в вершинах которого находятся тела, вращается вокруг своего центра неравномерно, и длины его сторон периодически изменяются. (Нажмите также здесь, чтобы наблюдать апплет.)

4. Неустойчивость эллиптических движений четырех тел в равносторонней конфигурации. В данном примере начальная скорость одного из тел немного отличается по величине от начальных скоростей трех других тел. Через некоторое время это крошечное нарушение симметрии начальных условий вызывает прогрессивно нарастающее искажение равносторонней конфигурации. Движение остается обратимым до тех пор пока не происходит столкновений (пока действуют только силы тяготения). (Нажмите также здесь, чтобы наблюдать апплет.)

Объяснение

Когда четыре тела одинаковой массы расположены в вершинах квадрата, результирующая сила, действующая на каждое из тел благодаря тяготению трех других тел, направлена к центру квадрата. Величина этой силы обратно пропорциональна квадрату расстояния тела от центра квадрата. Это означает, что движение каждого из тел может происходить так, как если бы на него действовала сила тяготения, создаваемая единственным неподвижным точечным источником, расположенным в центре квадрата, а не силы тяготения трех других движущихся тел. Так будет для всех четырех тел при условии, что их равносторонняя конфигурация сохраняется при движении. Поэтому тела могут синхронно двигаться по конгруэнтным (равным) коническим сечениям. В частности, они могут двигаться вдоль общей окружности, описанной вокруг квадрата, в вершинах которого расположены тела. В таком случае этот квадрат равномерно вращается вокруг своего центра. Для наблюдения такого движения нажмите здесь (и еще раз здесь чтобы был виден апплет).

Круговое движение в равносторонней конфигурации происходит лишь тогда, когда начальные скорости всех четырех тел одинаковой массы направлены перпендикулярно их радиусам-векторам. Эти скорости должны быть одинаковы, и их величина должна иметь вполне определенное значение. Если же начальные скорости, будучи одинаковыми по величине, имеют несколько иное значение, и/или векторы скоростей не перпендикулярны радиусам-векторам тел (но направлены под одинаковыми углами к радиусам-векторам тел, так что начальное состояние по-прежнему характеризуется осью симметрии четвертого порядка), то тела будут двигаться по конгруентным эллиптическим орбитам (в общем случае - по коническим сечениям), оси которых образуют углы по 90 градусов (в инерциальной системе отсчета центра масс). Для наблюдения такого движения нажмите здесь (и еще раз здесь чтобы был виден апплет).

В начало

Eugene Butikov personal page | Обзор | Предыдущий раздел